📚 What You'll Learn
📚 Lo que aprenderás
- The balanced moves strategy for simplifying equations
- La estrategia de movimientos balanceados para simplificar ecuaciones
- How to isolate the variable (get cups on one side only)
- Cómo aislar la variable (poner las tazas en un solo lado)
- Using estimation before trial and error
- Usar la estimación antes del ensayo y error
- Verifying your answer by substituting back into the original equation
- Verificar tu respuesta sustituyendo en la ecuación original
In this example, we are asked to solve for x in the equation five x plus twelve is equal to seven x plus negative eight.
This will be a crowded setup when I represent the equation on the mat using cups and cubes. Starting with the left side of the equation, five x plus twelve, I will need to place five cups and twelve green cubes. And for the right side of the equation, seven x plus negative eight, I will place seven cups and eight black cubes.
And now the trial and error strategy. Time out. There's gotta be a more efficient way.
And in fact, there is, and it's called balanced moves. And just like the name suggests, we will make moves to make the problem simpler, all while keeping the scale perfectly balanced.
Our objective here is to isolate the variable, x in this case, which simply means we want to have the cups on only one side. But we can't just simply move the cups or the scale will become unbalanced.
So what I will do is remove a cup from each side of the equation at the same time. All of the cups have the same value, so the equation will stay completely balanced. When you do this, use two hands removing one cup from each side.
Continue the process of removing a cup from each side until you have successfully isolated the variable. Meaning, only one side of the equation has any cups.
Now this equation looks a lot more manageable to solve. Rather than looking at that complicated equation at the start, after using balanced moves, the equation has been simplified. Under the left side, there are just twelve cubes. And on the right side, there are two cups and negative eight cubes. Twelve equals two x plus negative eight.
And rather than jumping straight into trial and error to solve for x, I will first use estimation. I know that the value of the two cups and negative eight cubes must be equal to twelve. So I can think, what must the value of the cups be so that when I take away eight, I'm left with twelve? I know that twenty minus eight equals twelve.
So let me test my thinking by putting ten cubes into each cup. If each cup is equal to ten, the left side of the equation still remains twelve, and the right side of the equation is ten twenty take away eight. That equals twelve.
The scale is balanced when the value of x is ten.
We can check this mathematically by substituting ten in for x back into the original equation. Five times ten plus twelve equals seven times ten plus negative eight. I'll do the multiplication first. Sixty two equals sixty two. It checks out.
If you find yourself in a situation where you are asked to solve this type of problem using pencil and paper, no worries, you can still do it. Draw large circles for each x, small squares to represent the positive numbers, and shaded in squares for negative numbers. Then use balanced moves crossing out one cup at a time on each side. Then test different values for the cups until both sides are balanced.
And now you're ready to solve equations by using balanced moves to isolate the variable.
En este ejemplo, se nos pide resolver x en la ecuación cinco x más doce es igual a siete x más negativo ocho.
Esta será una configuración llena cuando represente la ecuación en el tapete usando tazas y cubos. Comenzando con el lado izquierdo de la ecuación, cinco x más doce, necesitaré colocar cinco tazas y doce cubos verdes. Y para el lado derecho de la ecuación, siete x más negativo ocho, colocaré siete tazas y ocho cubos negros.
Y ahora la estrategia de ensayo y error. Un momento. Debe haber una manera más eficiente.
Y de hecho, la hay, y se llama movimientos balanceados. Y tal como el nombre sugiere, haremos movimientos para simplificar el problema, manteniendo la balanza perfectamente equilibrada.
Nuestro objetivo aquí es aislar la variable, x en este caso, lo que simplemente significa que queremos tener las tazas en un solo lado. Pero no podemos simplemente mover las tazas o la balanza se desequilibrará.
Entonces, lo que haré es quitar una taza de cada lado de la ecuación al mismo tiempo. Todas las tazas tienen el mismo valor, así que la ecuación permanecerá completamente balanceada. Cuando hagas esto, usa dos manos quitando una taza de cada lado.
Continúa el proceso de quitar una taza de cada lado hasta que hayas aislado exitosamente la variable. Es decir, solo un lado de la ecuación tiene tazas.
Ahora esta ecuación se ve mucho más manejable para resolver. En lugar de mirar esa ecuación complicada del principio, después de usar movimientos balanceados, la ecuación se ha simplificado. En el lado izquierdo, solo hay doce cubos. Y en el lado derecho, hay dos tazas y ocho cubos negativos. Doce es igual a dos x más negativo ocho.
Y en lugar de saltar directamente al ensayo y error para resolver x, primero usaré la estimación. Sé que el valor de las dos tazas y los ocho cubos negativos debe ser igual a doce. Entonces puedo pensar, ¿cuál debe ser el valor de las tazas para que cuando reste ocho, me quede doce? Sé que veinte menos ocho es igual a doce.
Así que déjame probar mi razonamiento poniendo diez cubos en cada taza. Si cada taza es igual a diez, el lado izquierdo de la ecuación sigue siendo doce, y el lado derecho de la ecuación es veinte menos ocho. Eso es igual a doce.
La balanza está equilibrada cuando el valor de x es diez.
Podemos verificar esto matemáticamente sustituyendo diez por x en la ecuación original. Cinco por diez más doce es igual a siete por diez más negativo ocho. Haré la multiplicación primero. Sesenta y dos es igual a sesenta y dos. ¡Comprobado!
Si te encuentras en una situación donde te piden resolver este tipo de problema usando lápiz y papel, no te preocupes, aún puedes hacerlo. Dibuja círculos grandes para cada x, cuadrados pequeños para representar los números positivos, y cuadrados sombreados para los números negativos. Luego usa movimientos balanceados tachando una taza a la vez en cada lado. Después prueba diferentes valores para las tazas hasta que ambos lados estén balanceados.
Y ahora estás listo para resolver ecuaciones usando movimientos balanceados para aislar la variable.