📚 What You'll Learn
📚 Lo que aprenderás
- The slope-intercept equation: y = mx + b
- La ecuación pendiente-intercepto: y = mx + b
- Why y = mx doesn't work when lines don't start at zero
- Por qué y = mx no funciona cuando las líneas no comienzan en cero
- Solving equations to find exact race times
- Resolver ecuaciones para encontrar tiempos exactos de carrera
- Finding where two lines intersect (a tie!)
- Encontrar dónde dos líneas se intersecan (¡un empate!)
Once again, we have two racers, one faster than the other.
On the graph, the blue line represents the faster racer and the brown line represents the slower racer.
But notice something important. The brown line does not start at the origin. That means it has a y intercept, a head start.
The line shown in blue has a slope of point one five. The slower racer's line, in brown, has a slope of point zero nine, but once again, it begins higher up on the y axis.
They'll be racing head to head along a five meter track. Because of that head start, this should be a close race.
Graphs are a great way to make predictions, but if we want an even more precise method, we can create equations for each line.
We've learned that we can use y equals mx to describe motion, where y represents the distance in meters, m is the slope or speed, and x is time in seconds.
Let's start with the fast racer. The equation is y equals point one five x.
Now let's predict how long it will take the fast racer to reach five meters. We can plug five in for y.
Five equals point one five x.
We're solving for x, the time. We can ask, five equals point one five times what number?
We can use division to solve for x. Dividing five by point one five gives us thirty three point three three.
That's the number of seconds it will take the faster racer to reach the five meter mark.
Now let's look at the slower racer. Its slope is point zero nine. Y equals point zero nine x.
But that won't work here because its line does not begin at zero. Think about it this way. This equation would mean that when x, the number of seconds, is zero, then y, the distance, would also equal zero. And that just isn't the case here.
We need an equation that accounts for the y intercept, the starting position.
That equation is y equals mx plus b, where b represents the y intercept.
Y equals mx plus b. This equation has a name. It's called slope intercept form.
So for the slow racer, the equation is y equals point zero nine x plus two.
Now we can use this equation to find out how long it will take this racer to reach the five meter finish line. Plug in five for y.
Five equals point zero nine x plus two.
We can think of it this way. Five equals point zero nine times what number plus two?
Okay. So that's a little complicated. Let's make it simpler.
Because the racer is actually starting at a distance of two, what we are really trying to figure out is how long it will take to travel three meters.
If we subtract or cancel out that two from both sides, we're really solving three equals point zero nine x.
Now we can divide three by point zero nine. That gives us thirty three point three three.
And that means that x equals thirty three point three three. That's the number of seconds it will take to reach the finish line.
Now if that number looks familiar, that's because it was exactly what we had calculated for the fast racer. Wow, a perfect tie.
And we can see that when both lines are on the same graph. They intersect or cross paths right at the five meter mark.
Using graphs to make predictions and visualize movement is a great strategy, but using equations gives us another powerful tool. Equations allow us to calculate exact values, like how long it takes to reach five meters, even if the graph isn't perfectly drawn or the scale is hard to read.
Una vez más, tenemos dos corredores, uno más rápido que el otro.
En el gráfico, la línea azul representa al corredor más rápido y la línea marrón representa al corredor más lento.
Pero nota algo importante. La línea marrón no comienza en el origen. Eso significa que tiene un intercepto en y, una ventaja inicial.
La línea mostrada en azul tiene una pendiente de punto quince. La línea del corredor más lento, en marrón, tiene una pendiente de punto cero nueve, pero una vez más, comienza más arriba en el eje y.
Correrán cabeza a cabeza a lo largo de una pista de cinco metros. Debido a esa ventaja inicial, esta debería ser una carrera reñida.
Los gráficos son una excelente manera de hacer predicciones, pero si queremos un método aún más preciso, podemos crear ecuaciones para cada línea.
Hemos aprendido que podemos usar y igual a mx para describir el movimiento, donde y representa la distancia en metros, m es la pendiente o velocidad, y x es el tiempo en segundos.
Comencemos con el corredor rápido. La ecuación es y igual a punto quince x.
Ahora predijamos cuánto tiempo le tomará al corredor rápido llegar a cinco metros. Podemos sustituir cinco por y.
Cinco igual a punto quince x.
Estamos resolviendo para x, el tiempo. Podemos preguntar, ¿cinco igual a punto quince por qué número?
Podemos usar la división para resolver x. Dividir cinco entre punto quince nos da treinta y tres punto treinta y tres.
Ese es el número de segundos que le tomará al corredor más rápido llegar a la marca de cinco metros.
Ahora veamos al corredor más lento. Su pendiente es punto cero nueve. Y igual a punto cero nueve x.
Pero eso no funcionará aquí porque su línea no comienza en cero. Piénsalo de esta manera. Esta ecuación significaría que cuando x, el número de segundos, es cero, entonces y, la distancia, también sería igual a cero. Y ese simplemente no es el caso aquí.
Necesitamos una ecuación que tenga en cuenta el intercepto en y, la posición inicial.
Esa ecuación es y igual a mx más b, donde b representa el intercepto en y.
Y igual a mx más b. Esta ecuación tiene un nombre. Se llama forma pendiente-intercepto.
Entonces, para el corredor lento, la ecuación es y igual a punto cero nueve x más dos.
Ahora podemos usar esta ecuación para averiguar cuánto tiempo le tomará a este corredor llegar a la línea de meta de cinco metros. Sustituye cinco por y.
Cinco igual a punto cero nueve x más dos.
Podemos pensarlo de esta manera. ¿Cinco igual a punto cero nueve por qué número más dos?
Está bien. Eso es un poco complicado. Hagámoslo más simple.
Debido a que el corredor en realidad está comenzando a una distancia de dos, lo que realmente estamos tratando de averiguar es cuánto tiempo le tomará viajar tres metros.
Si restamos o cancelamos ese dos de ambos lados, realmente estamos resolviendo tres igual a punto cero nueve x.
Ahora podemos dividir tres entre punto cero nueve. Eso nos da treinta y tres punto treinta y tres.
Y eso significa que x es igual a treinta y tres punto treinta y tres. Ese es el número de segundos que tomará llegar a la línea de meta.
Ahora, si ese número te resulta familiar, es porque fue exactamente lo que habíamos calculado para el corredor rápido. Guau, un empate perfecto.
Y podemos ver eso cuando ambas líneas están en el mismo gráfico. Se intersecan o cruzan caminos justo en la marca de cinco metros.
Usar gráficos para hacer predicciones y visualizar el movimiento es una gran estrategia, pero usar ecuaciones nos da otra herramienta poderosa. Las ecuaciones nos permiten calcular valores exactos, como cuánto tiempo toma llegar a cinco metros, incluso si el gráfico no está perfectamente dibujado o la escala es difícil de leer.